Ứng dụng vectơ giải các bài toán quỹ tích điểm

Phương pháp chung bài toán quỹ tích bằng vectơ

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ :

Nếu displaystyle left| {overrightarrow{{MA}}} right|=left| {overrightarrow{{MB}}} right|, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

displaystyle left| {overrightarrow{{MC}}} right|=kleft| {overrightarrow{{AB}}} right|, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.

Nếu displaystyle overrightarrow{{MA}}=koverrightarrow{{BC}}, với A, B, C cho trước thì:

– Với displaystyle kin R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

– Với displaystyle kin {{R}^{+}} điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng overrightarrow{BC}.

– Với displaystyle kin R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng overrightarrow{BC}.

Các bài toán quỹ tích có lời giải

Bài toán 1: Cho DeltaABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn

a. displaystyle overrightarrow{{MA}}+koverrightarrow{{MB}}-koverrightarrow{{MC}}=vec{0}. (1)

b. displaystyle (1-k)overrightarrow{{MA}}+overrightarrow{{MB}}-koverrightarrow{{MC}}=vec{0}. (2)

Giải

a. Ta biến đổi (1) về dạng:

displaystyle overrightarrow{{MA}}=k(overrightarrow{{MC}}-overrightarrow{{MB}})Leftrightarrow overrightarrow{{MA}}=koverrightarrow{{BC}}

displaystyle M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.

b. Ta biến đổi (2) về dạng:

displaystyle overrightarrow{{MA}}+overrightarrow{{MB}}-k(overrightarrow{{MA}}+overrightarrow{{MC}})=vec{0}.                                      (3)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

(3) ⇔ displaystyle 2overrightarrow{{ME}}-2koverrightarrow{{MF}}=vec{0}Leftrightarrow overrightarrow{{ME}}=koverrightarrow{{MF}}

displaystyle M thuộc đường trung bình EF của DeltaABC.

Bài toán 2: Trên tia Ox và Oy của widehat{xOy} lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.

Giải

Lấy hai điểm {{M}_{0}}, {{N}_{0}} thuôạ Ox, Oy sao cho:

O{{M}_{0}}=O{{N}_{0}}=frac{a}{2}.

Giả sử OM=k thì ON=a-k, với 0le kle a, khi đó:

overrightarrow{OM}=frac{2k}{a}overrightarrow{O{{M}_{0}}}  và overrightarrow{ON}=frac{2(a-k)}{a}overrightarrow{O{{N}_{0}}}.

Vì I là trung điểm của đoạn MN, ta được:

Đọc thêm  13 bài toán suy luận cho học sinh lớp 3

overrightarrow{OI}=frac{1}{2}(overrightarrow{OM}+overrightarrow{ON})=frac{1}{2}text{ }!![!!text{ }frac{2k}{a}overrightarrow{O{{M}_{0}}}+frac{2(a-k)}{a}overrightarrow{O{{N}_{0}}}]

Leftrightarrow overrightarrow{O{{M}_{0}}}+overrightarrow{{{M}_{0}}I}=frac{k}{a}overrightarrow{O{{M}_{0}}}+frac{2(a-k)}{a}overrightarrow{O{{N}_{0}}}

displaystyle Leftrightarrow overrightarrow{{{M}_{0}}I}=(frac{k}{a}-1)overrightarrow{O{{M}_{0}}}+frac{a-k}{a}overrightarrow{O{{N}_{0}}}

begin{array}{l}Leftrightarrow aoverrightarrow{{{M}_{0}}I}=(a-k)(overrightarrow{O{{N}_{0}}}-overrightarrow{O{{M}_{0}}})\Leftrightarrow overrightarrow{{{M}_{0}}I}=frac{a-k}{A}overrightarrow{{{M}_{0}}{{N}_{0}}}end{array}

Vậy quỹ tích I thuộc đoạn {{M}_{0}}{{N}_{0}}.     

Bài toán 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau.

Giải

Ta đặt: displaystyle overrightarrow{{CA}}=vec{a};overrightarrow{{CB}}=vec{b} .

Khi đó displaystyle overrightarrow{{CM}}=frac{{vec{b}}}{2}overrightarrow{{CE}}=koverrightarrow{{CA}}=kvec{a}

Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho displaystyle overrightarrow{{CE}}=koverrightarrow{{CA}}=kvec{a}, với 0< k< 1.

Khi đó displaystyle overrightarrow{{CF}}=koverrightarrow{{CB}}=kvec{b}

Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:

displaystyle overrightarrow{{CD}}=xoverrightarrow{{CA}}+(1-x)overrightarrow{{CM}}=yoverrightarrow{{CE}}+(1-y)overrightarrow{{CF}}

Hay displaystyle xvec{a}+frac{{1-x}}{2}vec{b}=kyvec{a}+k(1-y)vec{b}

Vì hai vectơ displaystyle vec{a},vec{b} không cùng phương nên x = ky và displaystyle frac{{1-x}}{2}=k(1-y).

Suy ra x = 2k -1,do đó displaystyle overrightarrow{{CD}}=(2k-1)vec{a}+(1-k)vec{b}

Ta có:

displaystyle overrightarrow{{ED}}=overrightarrow{{CD}}-overrightarrow{{CE}}=(2k-1)vec{a}+(1-k)vec{b}-kvec{a}=(1-k)(vec{b}-vec{a})=(1-k)overrightarrow{{AB}}

Chú ý rằng vì displaystyle overrightarrow{{CF}}=koverrightarrow{{CB}} hay displaystyle overrightarrow{{AB}}+overrightarrow{{BG}}=koverrightarrow{{AB}}

Suy ra (1-k)overrightarrow{AB}=overrightarrow{GB}

Do đó ED = GB. Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM=frac{AC}{4}. Gọi N là trung điểm CD.Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Giải

Đặt displaystyle overrightarrow{{AD}}=vec{a},overrightarrow{{AB}}=vec{b}

Khi đó:

displaystyle {overrightarrow{{AM}}=frac{1}{4}overrightarrow{{AC}}=frac{1}{4}(vec{a}+vec{b})}

displaystyle {overrightarrow{{AN}}=overrightarrow{{AD}}+overrightarrow{{DN}}=vec{a}+frac{{vec{b}}}{2}}

Ta có: displaystyle overrightarrow{{MB}}.overrightarrow{{MN}}=frac{1}{{16}}(-vec{a}+3vec{b})(3vec{a}+vec{b})

displaystyle =frac{1}{{16}}(-3{{vec{a}}^{2}}+3{{vec{b}}^{2}}+8vec{a}.vec{b})=0

displaystyle {{overrightarrow{{MB}}}^{2}}=frac{1}{{16}}{{(-vec{a}+3vec{b})}^{2}}=frac{1}{{16}}({{vec{a}}^{2}}+9{{vec{b}}^{2}}-6vec{a}.vec{b})=frac{5}{8}{{vec{a}}^{2}}

displaystyle {{overrightarrow{{MN}}}^{2}}=frac{1}{{16}}{{(3vec{a}+vec{b})}^{2}}=frac{1}{{16}}(9{{vec{a}}^{2}}+{{vec{b}}^{2}}+6vec{a}.vec{b})=frac{5}{8}{{vec{a}}^{2}}

Vậy MB vuông góc với MN và MB =MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M

Bài toán 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh

Giải

Cho hình bình hành ABCD,ta phải chứng minh:

displaystyle begin{array}{*{20}{l}} {A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})} end{array}

Ta có:

displaystyle {A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}={{{overrightarrow{{AC}}}}^{2}}+{{{overrightarrow{{BD}}}}^{2}}}

displaystyle {={{{(overrightarrow{{AB}}+overrightarrow{{AD}})}}^{2}}+{{{(overrightarrow{{BC}}+overrightarrow{{BA}})}}^{2}}}

displaystyle {=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})+2(overrightarrow{{AB}}.overrightarrow{{AD}}+overrightarrow{{BA}}.overrightarrow{{BC}})}

Do displaystyle overrightarrow{{AB}}.overrightarrow{{AD}}+overrightarrow{{BA}}.overrightarrow{{BC}}=0, displaystyle overrightarrow{{BA}}=-overrightarrow{{AB}}, displaystyle overrightarrow{{BC}}=overrightarrow{{AD}}

nên: displaystyle overrightarrow{{AB}}.overrightarrow{{AD}}+overrightarrow{{BA}}.overrightarrow{{BC}}=0

Vậy ta có: displaystyle A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}=2(A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}})

Đọc thêm  Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Bài tập

Bài 1: ChoDelta ABCvuông cân tại C. Trên các cạnhBC,CA,ABlần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho: frac{MB}{MC}=frac{NC}{NA}=frac{PA}{PB}

Chứng minh rằng:

a. CPbot MN

b. CP=MN.

Bài 2: Cho Delta ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh ABCH. Một đường thẳng d di động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh ACM và cắt cạnh BCN. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng tỏ rằng ba điểm I, K, J thẳng hàng.

Bài 3: Cho hai hình vuông ABCDBKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài. Chứng minh rằng trung tuyến BE của Delta ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của Delta BNC.

Bài 4: Qua trọng tâm G của Delta ABC vẽ đường thẳng Delta cắt các cạnh ABAC tại MN. Chứng minh: frac{MB}{MA}+frac{NC}{NA}=1.

Bài 5: Cho Delta ABC. Từ một P điểm P thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CA, CB tại QR. Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng {{d}^{'}} nối R với trung điểm J của CB tại S. Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6: Cho tam giac ABC có trọn tâm G và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh rằng: O{{G}^{2}}={{R}^{2}}-frac{1}{9}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{C}^{2}})

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *