So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0, với 1 số bất kỳ, phương trình quy về phương trình bậc 2.

Bài viết này Gia sư Tiến Bộ hướng dẫn các em cách so sánh nghiệm của PT bậc 2 với một số, đây là một dạng toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 với các bài toán có phương trình bậc hai.

Trước tiên các em cần phải ghi nhớ hệ thức Vi ét cho phương trình bậc 2 để áp dụng xác định dấu của các nghiệm.

Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai : a{{x}^{2}}+bx+c=0(ane 0)có nghiệm {{x}_{1}},{{x}_{2}} thì displaystyle S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{{-b}}{a};P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=frac{c}{a}.

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: displaystyle Delta ge 0;P>0;S>0.

– Có 2 nghiệm âm là: displaystyle Delta ge 0;P>0;S<0.

– Có 2 nghiệm trái dấu là: P<0 (Khi đó hiển nhiên displaystyle Delta >0).

So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2:  a{{x}^{2}}+bx+c=0(ane 0)có ít nhất một nghiệm không âm.

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:

{{x}^{2}}+mx+2m-4=0 (1) .

Cách 1: displaystyle Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}ge 0forall m khi đó phương trình có 2 nghiệm {{x}_{1}},{{x}_{2}} thoả mãn: P=2m-4;S=-m.

Đọc thêm  Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu – Đại số 8

Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm. Điều kiện đó là: displaystyle begin{array}{l}left{ begin{array}{l}P>0\S<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2m-4>0\-m<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>2\m>0end{array} right.Leftrightarrow m>2\end{array}

Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là mle 2.

Cách 2: displaystyle Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}ge 0forall mP=2m-4;S=-m.

-Nếu Ple 0displaystyle Leftrightarrow mle 2, thì phương trình (1) tồn tại nghiệm không âm.

– Nếu P>0thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu . Để thoả mãn đề bài ta phải có S>0. Giải điều kiện P>0; S>0 được m>2 và m<0 không xảy ra.

KL: mle 2.

Cách 3: Giải phương trình (1) : displaystyle Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}ge 0forall m

Ta có: {{x}_{1}}=frac{{-m-(m-4)}}{2}=2-m;{{x}_{2}}=frac{{-m+(m-4)}}{2}=-2 .

Do {{x}_{2}}=-2<0 nên ta phải có {{x}_{1}}ge 0Leftrightarrow 2-mge 0Leftrightarrow mle 2.

Ví dụ 2: Cho phương trình: {{x}^{2}}-2(m+3)x+4m-1=0 (2) . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.

Giải

Phương trình (2) có 2 nghiệm dương:

displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ge 0\P>0\S>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{(m+3)}^{2}}-(4m-1)ge 0\4m-1>0\2(m+3)>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{(m+1)}^{2}}+9>0forall m\m>frac{1}{4}\m>-3end{array} right.Leftrightarrow m>frac{1}{4}

So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2:

{{x}^{2}}+mx+1=0  (1) .

Cách 1: Đặt y=x-2displaystyle Rightarrow x=y+2 thay vào phương trình (1) ta được:

{{(y+2)}^{2}}+m(y+2)-1=0Leftrightarrow {{y}^{2}}+(4+m)y+3-2m=0 (2).

Ta cần tìm m để phương trình  (2) có ít nhất một nghiệm không âm.

displaystyle Delta ={{(m+4)}^{2}}-4(2m+3)={{m}^{2}}+4>0forall m;P=2m+3;S=-(m+4). Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là: displaystyle left{ begin{array}{l}Delta ge 0\P>0\S<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2m+3>0\-(m+4)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>frac{{-3}}{2}\m>-4end{array} right.Leftrightarrow m>frac{{-3}}{2}.

Vậy với mle frac{{-3}}{2} thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Cách 2: Giải phương trình (1) ta được: displaystyle {{x}_{1}}=frac{{-m+sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2};{{x}_{2}}=frac{{-m-sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2}.

Ta thấy {{x}_{1}}>{{x}_{2}}nên chỉ cần tìm m để {{x}_{1}}ge 2.

Ta có displaystyle frac{{-m+sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2}ge 2Leftrightarrow sqrt{{{{m}^{2}}+4}}ge m+4text{ }(3)

– Nếu mle -4 thì (3) có vế phải âm , vế trái dương nên (3) đúng.

– Nếu m>-4 thì (3) displaystyle Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16Leftrightarrow mle frac{{-3}}{2}.

Ta được -4<mle frac{{-3}}{2}.

Gộp mle -4displaystyle -4<mle dfrac{{-3}}{2}Rightarrow mle dfrac{{-3}}{2} là giá trị cần tìm của m .

Ví dụ 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:

3{{x}^{2}}-4x+2(m-1)=0    (1).

Giải:

Cách 1: Đặt y=x-2Rightarrow x=y+2 thay vào (1) ta được :

3{{(y+2)}^{2}}-4(y+2)+2(m-1)=0displaystyle Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0  (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:

displaystyle left{ begin{array}{l}{{Delta }^{'}}>0\P>0\S<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}10-6m>0\frac{{2m+2}}{3}>0\frac{{-8}}{3}<0end{array} right.Leftrightarrow -1<m<frac{5}{3}

KL: Với -1<m<frac{5}{3} thì phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt, tức là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .

Đọc thêm  Đề thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh 2020-2021

Cách 2: Xét phương trình (1). Giải điều kiện:

displaystyle begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{{Delta }^{'}}>0\{{x}_{1}}-2<0\{{x}_{2}}-2<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{Delta }^{'}}>0text{ }(2)\({{x}_{1}}-2)({{x}_{2}}-2)>0text{ }(3)\({{x}_{1}}-2)+({{x}_{2}}-2)<0text{ }(4)end{array} right.\end{array}

Giải (2) được: m<frac{5}{3} .

Giải (3): {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+4>0Leftrightarrow frac{{2(m-1)}}{3}-2.frac{4}{3}+4>0Leftrightarrow m>-1.

Giải (4) : {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4<0displaystyle Leftrightarrow frac{4}{3}-4<0 luôn đúng .

Vậy ta được -1<m<frac{5}{3} .

Cách 3: Giải phương trình (1) : displaystyle displaystyle {{Delta }^{'}}=4-6(m-1)=10-6m .

Nếu {{Delta }^{'}}>0Leftrightarrow m<frac{5}{3} thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

displaystyle displaystyle {{x}_{1}}=frac{{2-sqrt{{10-6m}}}}{3}  ;  displaystyle displaystyle {{x}_{2}}=frac{{2+sqrt{{10-6m}}}}{3} . Do {{x}_{1}}<{{x}_{2}} nên điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 là:

displaystyle displaystyle {{x}_{2}}<2Leftrightarrow 2+sqrt{{10-6m}}<6Leftrightarrow sqrt{{10-6m}}<4Leftrightarrow 10-6m<16Leftrightarrow m>-1.

Vậy ta được -1<m<frac{5}{3} .

Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.

{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0  (1)

Giải: 

Đặt {{x}^{2}}=yge 0.

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình: {{y}^{2}}+my+2m-4=0 có ít nhất một nghiệm không âm ,

Theo kết quả ở VD1 mục I , các giá trị của m cần tìm là: mle 2.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình :

x-sqrt{{1-{{x}^{2}}}}=m   (1) chỉ có 1 phần tử

Giải:

(1) displaystyle Leftrightarrow x-m=sqrt{{1-{{x}^{2}}}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge m\{{(x-m)}^{2}}=1-{{x}^{2}}end{array} right.   (*)   displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge m\2{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0(2)end{array} right.

Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện xge m. Đặt

x – m = y. Khi đó phương trình (2) trở thành 2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0 (3).

Cần tìm m để chỉ có một nghiệm của phương trình (3) thoả mãn yge 0.

Có 3 trường hợp xảy ra :

a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm:
displaystyle left{ begin{array}{l}{{Delta }^{'}}=0\Sge 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-{{m}^{2}}+2=0\-mge 0end{array} right.Leftrightarrow m=-sqrt{2}

b) Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:
P<0Leftrightarrow frac{{{{m}^{2}}-1}}{2}<0Leftrightarrow -1<m<1

c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
displaystyle left{ begin{array}{l}P=0\S<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m=-1\m=1end{array} right.\-m<0end{array} right.Leftrightarrow m=1.

KL: m=-sqrt{2} hoặc -1<mle 1 .

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

x(x-2)(x+2)(x+4)=m       (1)

Giải: (1)displaystyle Leftrightarrow ({{x}^{2}}+2x)({{x}^{2}}+2x-8)=m. Đặt {{x}^{2}}+2x+1=yge 0,

khi đó (1) trở thành (y-1)(y-9)=mLeftrightarrow {{y}^{2}}-10y+(9-m)=0    (2)

Với cách đặt ẩn phụ như trên , ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x .

Do đó: có 4 nghiệm phân biệt displaystyle Leftrightarrow(2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Do đó ở (2) ta phải có:
displaystyle begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{{Delta }^{'}}>0\P>0\S>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}25-(9-m)>0\9-m>0\10>0end{array} right.Leftrightarrow -16<m<9\end{array}

KL: -16<m<9

Bài tập tự giải

Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình:  {{x}^{2}}-2x+(m-2)=0

Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

{{x}^{2}}+2mleft| {x-2} right|-4x+{{m}^{2}}+3=0

Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình:

Đọc thêm  Bộ đề kiểm tra giữa HK2 môn Vật lý 9 có đáp án

(m-1){{x}^{2}}-(m-5)x+(m-1)=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: {{x}^{2}}+mx+-1=0 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.

Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình:

{{x}^{4}}-2(m-1){{x}^{2}}-(m-3)=0

a) Có 4 phần tử.

b) Có 3 phần tử.

c) Có 2 phần tử.

d) Có 1 phần tử.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *