Giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng của 2 vectơ

Phương pháp giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng

Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ: S=M{{I}^{2}}+c, với c là hằng số và I cố định.

Khi đó displaystyle {{S}_{Min}}=c, đạt được khi

MI=0 ⇔ M≡I.

Ứng dụng tích vô hướng giải các bài toán cực trị

Bài toán 1: Cho DeltaABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: displaystyle overrightarrow{MA}.overrightarrow{BC}+overrightarrow{MB}.overrightarrow{CA}+overrightarrow{MC}.overrightarrow{AB}=0.

b. CMR: M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3M{{G}^{2}}, từ đó suy ra vị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

overrightarrow{MA}.overrightarrow{BC}+overrightarrow{MB}.overrightarrow{CA}+overrightarrow{MC}.overrightarrow{AB}

=overrightarrow{MA}.(overrightarrow{MC}-overrightarrow{MB})+overrightarrow{MB}.(overrightarrow{MA}-overrightarrow{MC})+overrightarrow{MC}.(overrightarrow{MB}-overrightarrow{MA})=0

b. Ta có:

begin{array}{l}M{{A}^{2}}={{overrightarrow{MA}}^{2}}={{(overrightarrow{MG}+overrightarrow{GA})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+2overrightarrow{MG}.overrightarrow{GA}\M{{B}^{2}}={{overrightarrow{MB}}^{2}}={{(overrightarrow{MG}+overrightarrow{GB})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{B}^{2}}+2overrightarrow{MG}.overrightarrow{GB}\M{{C}^{2}}={{overrightarrow{MC}}^{2}}={{(overrightarrow{MG}+overrightarrow{GC})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}+2overrightarrow{MG}.overrightarrow{GC}end{array}

Cộng vế theo vế ta được:

begin{array}{l}M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{C}^{2}}+overrightarrow{MG}.(overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC})\end{array}

=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}(vì overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0})

Từ đó suy ra displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi M{{G}^{2}}=0Leftrightarrow Mequiv I

Bài toán 2:  Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{text{D}}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

left{ begin{matrix}overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=2overrightarrow{MO} \overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}=2overrightarrow{MO} \end{matrix} right.Rightarrow {{(overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC})}^{2}}={{(overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD})}^{2}}

Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} M{{text{D}}^{2}}+2(overrightarrow{MA}.overrightarrow{MC}overrightarrow{MB}.overrightarrow{MD})=0                                      (1)

Ta xét:

overrightarrow{MA}.overrightarrow{MC}-overrightarrow{MB}.overrightarrow{MD}=(overrightarrow{OA}-overrightarrow{OM}).(overrightarrow{OC}-overrightarrow{OM})-(overrightarrow{OB}-overrightarrow{OM}).(overrightarrow{OD}-overrightarrow{OM})

=-(overrightarrow{OA}-overrightarrow{OM}).(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OM})+(overrightarrow{OB}-overrightarrow{OM}).(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OM})

=-O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}+O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}                                                            (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}-M{{D}^{2}}+2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})=0

Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{D}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}) ⇒ đpcm.

b. Từ kết quả câu a) suy ra M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M{{text{D}}^{2}} nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho DeltaABC đều cạnh bằng 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp DeltaABC. Đặt S=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}.

Đọc thêm  Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

b. Tìm giá trị lớn nhất của S.

Bài 2: Cho DeltaABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR vectơ displaystyle overrightarrow{v}=overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}-2overrightarrow{MC}, không phụ thuộc vào vị trí của M.

b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DeltaABC, chứng minh rằng:

M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=2overrightarrow{MO}.overrightarrow{v}

c. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=0.

Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp DeltaABC, tìm vị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}} đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *