Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm

Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm được Trung tâm Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với bạn đọc.

*Tổng quát: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm: displaystyle dfrac{{a+b}}{2}ge sqrt{{ab}}

Đọc thêm  Đề thi HSG Toán lớp 9 thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức đúng với a = 0 hoặc b = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:

displaystyle dfrac{{a+b}}{2}ge sqrt{{ab}}

displaystyle a+bge 2sqrt{{ab}}

displaystyle a-2sqrt{{ab}}+bge 0

displaystyle (sqrt{a}-sqrt{b})^{2}ge 0 (vì displaystyle a,b>0 luôn đúng)

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm: displaystyle dfrac{{a+b+c}}{3}ge sqrt[3]{{abc}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức đúng với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:

Đặt: displaystyle x=sqrt[3]{a},y=sqrt[3]{b},z=sqrt[3]{c}

Suy ra: displaystyle x,y,zge 0

Suy ra: displaystyle x+y+zge 0

Bất đẳng thức được quy về: displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}ge 3xyz

displaystyle (x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}-3xyzge 0

displaystyle (x+y+z)left[ {left( {{(x+y)}^{2}-(x+y)z+z^{2}} right]-3xy(x+y+z)ge 0} right.

displaystyle (x+y+z)left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-yz} right)-3xy(x+y+z)ge 0

displaystyle (x+y+z)left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx} right)ge 0

(x+y)^{3}-3 x y(x+y)+z^{3}-3 x y z geq 0

(x+y+z)left[left((x+y)^{2}-(x+y) z+z^{2}right]-3 x y(x+y+z) geq 0right.

(x+y+z)left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-x z-y zright)-3 x y(x+y+z) geq 0

(x+y+z)left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z xright) geq 0

(x+y+z)left(2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x y-2 y z-2 z xright) geq 0

(x+y+z)left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(x-z)^{2}right] geq 0,(forall x, y, z geq 0)

displaystyle (x+y+z)left[ {{(x-y)}^{2}+{(y-z)}^{2}+{(x-z)}^{2}} right]ge 0,(forall x,y,zge 0)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương a = b = c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm: displaystyle dfrac{{a+b+c+d}}{4}ge sqrt[4]{{abcd}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bất đẳng thức đúng với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:

displaystyle a+b+c+dge 2sqrt{{ab}}+2sqrt{{cd}}ge 4sqrt[4]{{abcd}}

displaystyle left( {dfrac{{a+b+c+d}}{4}} right)^{4}ge abcd

Thay: displaystyle d=dfrac{{a+b+c}}{3}

Ta được bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{n}: displaystyle dfrac{{x_{1}+x_{2}+x_{3}++x_{n}}}{n}ge sqrt[n]{{x_{1}x_{2}x_{3}x_{n}}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{n}

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương:

n=2 thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Ta có thể chứng minh đơn giản vì: displaystyle x_{1}+x_{2}+ldots +x_{n}ge nsqrt[n]{{x_{1}cdot x_{2}ldots x_{n}}}+nsqrt[n]{{x_{{n+1}}cdot x_{{n+2}}ldots x_{{2n}}}}ge 2nsqrt[{2n}]{{x_{1}cdot x_{2}ldots x_{{2n}}}}

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Đọc thêm  Đề kiểm tra giữa HK1 môn Ngữ Văn 7 huyện Nam Trực 2015-2016

Theo bất đẳng thức cosi cho n số: displaystyle x_{1}+x_{2}+ldots .+x_{n}ge nsqrt[n]{{x_{1}cdot x_{2}ldots x_{n}}}

Chọn: displaystyle x_{n}=dfrac{s}{{n-1}},s=x_{1}+x_{2}+ldots +x_{n}

displaystyle sge (n-1)sqrt[{n-1}]{{x_{1}cdot x_{2}ldots x_{{n-1}}}}

Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *