Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn

Đây là bài thứ 2 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
  • Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán 9
  • Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn
  • Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai
  • Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
  • Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
  • Phương trình bậc hai – Hệ thức Vi-ét
  • Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
  • Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn
  • Hệ phương trình bậc nhất chứa tham số
  • Cách chứng minh bất đẳng thức trong đề thi vào 10 môn Toán
  • Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị
  • Các dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
  • 30 bài tập hình học ôn thi vào 10 môn Toán
  • Dạng bài tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai
  • Bài tập: Rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ – Ôn thi vào 10
  • Bài tập bất đẳng thức lớp 9 không chuyên
  • 32 bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cơ bản
  • Các dạng bài tập Đại số ôn thi vào lớp 10
  • Ôn thi vào 10 môn Toán năm học 2020-2021
  • 5 đề thi thử vào lớp 10 THPT môn Toán năm 2021
  • Đề thi thử môn Toán vào lớp 10 THPT năm 2021-2022 có lời giải
  • Chuyên đề: Phương trình và hệ phương trình ôn thi vào 10
  • 68 bài tập: giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
  • Một số bài hình ôn thi vào lớp 10 có lời giải
  • Những bài toán hình học mẫu ôn thi HK2 và tuyển sinh vào 10 môn Toán
Đọc thêm  Đề thi HSG Toán lớp 5 số 3

Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm câu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn qua các cách có ví dụ minh họa.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức thi thoảng xuất hiện trong câu cuối của bài 1 trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán.

Cách thường sử dụng áp dụng với từng dạng biểu thức:

a) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất biểu thức A=sqrt{x-a}+sqrt{b-x}

Phương pháp: Điều kiện rồi bình phương hai vế, sau đó sử dụng Cosi:

Đọc thêm  Cách tìm hệ số a, b của hàm số bậc nhất y = ax + b

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A=sqrt{x-4}+sqrt{10-x}

Điều kiện: 4 leq x leq 10 .
Ta có: A^{2}=(sqrt{x-4}+sqrt{10-x})^{2}=x-4+2 sqrt{(x-4)(10-x)}+10-x=6+2 sqrt{(x-4)(10-x)}

sqrt{(x-4)(10-x)} geq 0 nên A^{2} geq 6

Suy ra A geq sqrt{6}. Vậy A mathrm{~min}=sqrt{6} khi sqrt{(x-4)(10-x)}=0 suy ra left[begin{array}{l}x=4 \ x=10end{array}right..

2 sqrt{(x-4)(10-x)} leq x-4+10-x=6 (BDT Cosi 2 sqrt{a b} leq a+b)

Suy ra A^{2}=6+2 sqrt{(x-4)(10-x)} leq 12 Rightarrow A leq sqrt{12}

Vậy max A=sqrt{12} khi x-4=10-x Leftrightarrow x=7

b) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2:

left{begin{array}{l}(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}end{array}right.

Ví dụ: Tìm GTLN của A=sqrt{x}-x . Ta có: A=frac{1}{4}-left(sqrt{x}-frac{1}{2}right)^{2}

mathrm{Vi}left(sqrt{x}-frac{1}{2}right)^{2} geq 0 quad forall x geq 0 Rightarrow frac{1}{4}-left(sqrt{x}-frac{1}{2}right)^{2} leq frac{1}{4} .

Dấu bằng xảy ra khi sqrt{x}-frac{1}{2}=0 Leftrightarrow x=frac{1}{4}

Vậy max  A=frac{1}{4} khi x=frac{1}{4}.

Chú ý với biểu thức: A=x+2 sqrt{x}+4 : Các em chỉ cần đánh giá:

x geq 0 Rightarrow x+2 sqrt{x} geq 0 Rightarrow A=x+2 sqrt{x}+4 geq 4

c) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đánh giá

Thường dùng khi tử số là hằng số

Ví dụ: Tìm GTNN của A=frac{10}{3-2 sqrt{x}} .

Ta có: sqrt{x} geq 0 forall x geq 0 Rightarrow 3-2 sqrt{x} leq 3

Rightarrow A=frac{10}{3-2 sqrt{x}} geq frac{10}{3} .

Dấu bằng xảy ra khi x=0 .

Vậy min  A=frac{10}{3} Leftrightarrow x=0

d) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách thực hiện phép chia rồi đánh giá

Thường dùng khi tử số và mẫu số cùng bậc

Ví dụ: Tìm GTNN của A=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+6} .

Ta có: A=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+6}=1-frac{5}{sqrt{x}+6}

sqrt{x} geq 0 forall x geq 0 Rightarrow sqrt{x}+6 geq 6 Rightarrow frac{5}{sqrt{x}+6} leq frac{5}{6} Rightarrow 1-frac{5}{sqrt{x}+6} geq 1-frac{5}{6}=frac{1}{6}.

Dấu bằng xảy ra khi x=0. Vậy min A=frac{1}{6} Leftrightarrow x=0

e) Phương pháp chia (tách) rồi sử dụng BĐT Cosi:

Thường dùng khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu

Ví dụ: Tìm GTNN của A=frac{x+7}{sqrt{x}+3} .

Ta có: A=frac{x+7}{sqrt{x}+3}=sqrt{x}-3+frac{16}{sqrt{x}+3}=(sqrt{x}+3)+frac{16}{sqrt{x}+3}-6

Áp dụng BĐ T Cosi cho hai số (sqrt{x}+3) ; frac{16}{sqrt{x}+3}

(sqrt{x}+3)+frac{16}{sqrt{x}+3} geq 2 sqrt{(sqrt{x}+3) cdot frac{16}{sqrt{x}+3}}=8 Rightarrow(sqrt{x}+3)+frac{16}{sqrt{x}+3}-6 geq 2

Dấu bằng xảy ra khi (sqrt{x}+3)=frac{16}{sqrt{x}+3} Leftrightarrow(sqrt{x}+3)^{2}=16 Leftrightarrow x=1

f) Tìm x ∈ N , x ∈ Z để biểu thức đạt GTNN – GTLN:

Ví dụ: Tìm x in mathbb{N} để A=frac{3}{sqrt{x}-2} đạt GTLN – GTNN

Điều kiện: x in mathbb{N}, x neq 4.

Nếu 0 leq x<4 Rightarrow A<0, nếu x>4 Rightarrow A>0.

Như vậy A đạt GTLN khi x>4 và A đạt GTNN khi 0 leq x<4.

+ Tìm giá trị lớn nhất: Để A=frac{3}{sqrt{x}-2} đạt GTLN thì sqrt{x}-2 đạt giá trị nhỏ nhất, mà x>4; x in mathbb{N} Rightarrow x=5

Vậy max  A=frac{3}{sqrt{5}-2}=6+3 sqrt{5} Leftrightarrow x=5.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất: Để A=frac{3}{sqrt{x}-2} đạt GTN thì sqrt{x}-2 đạt GTLN, mà 0 leq x<4x in mathbb{N} Rightarrow x=3

nên max  (sqrt{x}-2)=sqrt{3}-2 suy ra min  A=frac{3}{sqrt{3}-2} Leftrightarrow x=3.

Cùng chuyên đề:

<< Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán 9Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai >>

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *