Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Trong vectơ, 3 điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ overrightarrow{AB}=koverrightarrow{AC}, kinR.

Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh: overrightarrow{AB}=koverrightarrow{AC}, kinR bằng cách

– Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Xác định vectơ overrightarrow{AB}overrightarrow{AC} thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:

– Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

overrightarrow{MC}=alpha overrightarrow{MA}+(1-alpha )overrightarrow{MB}

Với điểm M tùy ý và số thực alpha bất kì.

Đặc biệt khi 0le alpha le 1 thì C thuộc đoạn AB.

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số frac{Atext{E}}{AC}=frac{2}{3}. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

Giải

Ta có:             overrightarrow{DI}=overrightarrow{DC}+overrightarrow{CI}

Rightarrow          overrightarrow{DI}=overrightarrow{DC}+frac{1}{2}overrightarrow{CB}                        (1)

overrightarrow{DE}=overrightarrow{DC}+overrightarrow{CE}

Theo giả thiết, ta suy ra:

overrightarrow{CE}=frac{1}{3}(overrightarrow{Ctext{D}}+overrightarrow{DA})

Rightarrow          overrightarrow{CE}=frac{1}{3}(overrightarrow{Ctext{D}}+overrightarrow{DA})=frac{1}{3}(overrightarrow{Ctext{D}}+overrightarrow{CB})

Từ đây ta có:

overrightarrow{DE}=overrightarrow{DC}+frac{1}{3}overrightarrow{Ctext{D}}+frac{1}{3}overrightarrow{CB}

Rightarrow          overrightarrow{DE}=frac{2}{3}overrightarrow{DC}+frac{1}{3}overrightarrow{CB}

Rightarrow          overrightarrow{DE}=frac{2}{3}(overrightarrow{DC}+frac{1}{2}overrightarrow{CB})                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: overrightarrow{DE}=frac{2}{3}overrightarrow{DI}

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: Cho DeltaABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của DeltaABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Đọc thêm  Tích vô hướng của hai vectơ

Giải

Ta có:

overrightarrow{OG}=frac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})                                                (1)

Gọi E là trung điểm BC và {{A}_{1}} là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

left{ begin{matrix}BHparallel C{{A}_{1}}(ctext{ }!!grave{mathrm{u}}!!text{ ng}bot AC) \CHparallel B{{A}_{1}}(ctext{ }!!grave{mathrm{u}}!!text{ ng}bot AB) \end{matrix} right.

displaystyle Rightarrow {{A}_{1}}BHC là hình bình hành

displaystyle Rightarrow {{A}_{1}}, E, H thẳng hàng displaystyle RightarrowD

Ta có:

overrightarrow{OH}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{AH}=overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OE}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}           (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

displaystyle overrightarrow{{OG}}=frac{1}{3}overrightarrow{{OH}}Leftrightarrow O,G,H thẳng hàng.

Bài toán 3: Cho ba dây cung song song A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}} nằm trên một đường thẳng.

                                                         Giải

Gọi {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} lần lượt là trực tâm của các tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}

Ta có:

begin{array}{l}overrightarrow{O{{H}_{1}}}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{O{{C}_{1}}}\overrightarrow{O{{H}_{2}}}=overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{O{{A}_{1}}}\overrightarrow{O{{H}_{3}}}=overrightarrow{OC}+overrightarrow{OA}+overrightarrow{O{{B}_{1}}}end{array}

Suy ra:

overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}=overrightarrow{O{{H}_{2}}}-overrightarrow{O{{H}_{1}}}

begin{array}{l}=overrightarrow{OC}-overrightarrow{O{{C}_{1}}}+overrightarrow{O{{A}_{1}}}-overrightarrow{OA}\=overrightarrow{{{C}_{1}}C}+overrightarrow{A{{A}_{1}}}end{array}

overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}=overrightarrow{O{{H}_{3}}}-overrightarrow{O{{H}_{1}}}

begin{array}{l}=overrightarrow{OC}-overrightarrow{O{{C}_{1}}}+overrightarrow{O{{B}_{1}}}-overrightarrow{OB}\=overrightarrow{{{C}_{1}}C}+overrightarrow{B{{B}_{1}}}end{array}

Vì các dây cung A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} song song với nhau

Nên ba vectơ overrightarrow{A{{A}_{1}}},overrightarrow{B{{B}_{1}}},overrightarrow{C{{C}_{1}}} có cùng phương

Do đó hai vectơ overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}vtext{ }!!grave{mathrm{a}}!!text{ }overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}} cùng phương hay ba điểm {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} thẳng hàng.

Bài tập

Bài 1: Cho DeltaABC. Đường tròn nội tiếp DeltaABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho DeltaABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng {{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}},{{Delta }_{3}} đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}. Chứng minh trực tâm của ba tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}} thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.

Đọc thêm  Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm

Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *