Cách chứng minh 2 hai điểm trùng nhau bằng vectơ

Phương pháp chung

Muốn chứng minh 2 điểm {{A}_{1}}{{A}_{2}} trùng nhau, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

– Cách 1:  Chứng minh cho overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=overrightarrow{0}.

– Cách 2: Chứng minh cho overrightarrow{O{{A}_{1}}}=overrightarrow{O{{A}_{2}}} với O là điểm tùy ý.

Ứng dụng vectơ chứng minh 2 điểm trùng nhau

Bài toán: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Giải

Gọi {{G}_{1}},{{G}_{2}} lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý.

Ta có:

displaystyle left{ begin{array}{l}overrightarrow{OA}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP}=3overrightarrow{O{{G}_{1}}}\overrightarrow{OC}+overrightarrow{OM}+overrightarrow{OQ}=3overrightarrow{O{{G}_{2}}}end{array} right.

Mặt khác:

begin{array}{l}overrightarrow{OA}+overrightarrow{ON}+overrightarrow{OP}=overrightarrow{OA}+frac{1}{2}(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})+frac{1}{2}(overrightarrow{OC}+overrightarrow{Otext{D}})\end{array}

=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}+frac{1}{2}(overrightarrow{OB}+overrightarrow{Otext{D}})            (2)

begin{array}{l}overrightarrow{OC}+overrightarrow{OM}+overrightarrow{OQ}=overrightarrow{OC}+frac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})+frac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{Otext{D}})\end{array}

=overrightarrow{OC}+overrightarrow{OA}+frac{1}{2}(overrightarrow{OB}+overrightarrow{Otext{D}})              (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: overrightarrow{O{{G}_{1}}}=overrightarrow{O{{G}_{2}}}

Vậy {{G}_{1}}{{G}_{2}} trùng nhau.

Bài tập

Bài 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 2: Cho lục giác ABCDEF có ABbot text{EF} và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. CMR: AB²+EF²=CD².

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *