Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc bằng vectơ

Để chứng minh cho hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ, chúng ta chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tức là: ABbot ACLeftrightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=0

Xét ví dụ có lời giải dưới đây.

Ứng dụng vectơ chứng minh vuông góc

Bài toán: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB. CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

displaystyle overrightarrow{SM}.overrightarrow{A'B'}=frac{1}{2}(overrightarrow{SA}+overrightarrow{SB}).(overrightarrow{SB'}-overrightarrow{SA'})

displaystyle =frac{1}{2}(overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB'}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SA'}+overrightarrow{SB}.overrightarrow{SB'}-overrightarrow{SB}.overrightarrow{SA'})

Ta có:

displaystyle begin{array}{l}overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB'}=0\overrightarrow{SB}.overrightarrow{SA'}=0\overrightarrow{SA}.overrightarrow{SA'}=overrightarrow{SB}.overrightarrow{SB'}end{array}

Từ đó suy ra  displaystyle overrightarrow{SM}.overrightarrow{A'B'}=0 nên SM vuông góc với A’B.

Bài tập

Bài 1: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp Delta ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm của Delta ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OEbot CD.

Bài 2: Cho Delta ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm Delta ADC. Chứng minh IEbot CD. (I là tâm đường tròn ngoại tiếp Delta ABC).

Bài 3: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BMbot CNLeftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=5{{a}^{2}}

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BHbot AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh rằng: BMbot MN.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *