Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Đây là bài thứ 16 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức
  • Lý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thức
  • Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
  • Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức
  • Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
  • Một số bất đẳng thức phụ hay dùng
  • Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến
  • Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng
  • Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp ghép cặp
  • Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức
  • Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ
  • Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng
  • Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng
  • Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020
  • Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Bất đẳng thức Svac-xơ hay bất đẳng thức cộng mẫu số là bất đẳng thức được sử dụng khá nhiều trong chứng minh BĐT có liên quan tới phân số.

Bài viết này hướng dẫn cách chứng minh BĐT Svac-xơ dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Chứng minh bất đẳng thức cộng mẫu số – Svac-xơ

Cho displaystylemathrm{b}_{1}, mathrm{~b}_{2}, ldots mathrm{bn}>0.Khi đó ta có

displaystylefrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+ldots+frac{a^{2}_{n}}{b_{n}} geq frac{left(a_{1}+a_{2}+ldots+a_{n}right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+ldots+b_{n}}

Dấu “=” xảy ra khi displaystylefrac{a_{1}}{b_{1}}=frac{a_{2}}{b_{2}}=ldots=frac{a_{n}}{b_{n}}

– Chứng minh:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số displaystyleleft(frac{a_{1}}{sqrt{b_{1}}}+frac{a_{2}}{sqrt{b_{2}}}+ldots+frac{a_{n}}{sqrt{b_{n}}}right)

displaystyleleft(sqrt{b_{1}}+sqrt{b_{2}}+ldots+sqrt{b_{n}}right). Ta có:

displaystyleleft(frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+ldots+frac{a^{2} n}{b_{n}}right)left(b_{1}+b_{2}+ldots+b_{n}right) geqleft(a_{1}+a_{2}+ldots+a_{n}right)^{2}

displaystyleRightarrow frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+ldots+frac{a^{2} n}{b_{n}} geq frac{left(a_{1}+a_{2}+ldots+a_{n}right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+ldots+b_{n}} . (điều phải chứng minh).

Ví dụ áp dụng BĐT Svac-xơ

Ví dụ 1: Cho a, b, c>0, a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P=frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{c}+frac{c^{2}}{a}+frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

displaystyle P=frac{a^{2}}{b}+frac{b^{2}}{c}+frac{c^{2}}{a} geq frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c=3

displaystylefrac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} geq frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=frac{9}{a+b+c}=3

Vậy P geq 3+3=6

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Ví dụ 2: Cho các số thực dương. Chứng minh rằng:

displaystylefrac{1}{a}+frac{4}{b}+frac{9}{c} geq frac{36}{a+b+c}

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

displaystylefrac{1}{a}+frac{4}{b}+frac{9}{c}=frac{1^{2}}{a}+frac{2^{2}}{b}+frac{3^{2}}{c} geq frac{(1+2+3)^{2}}{a+b+c}=frac{36}{a+b+c}(D P C M)

Dấu “=” xảy ra khi displaystylefrac{1}{a}=frac{2}{b}=frac{3}{c}

3. Bài tập vận dụng bất đẳng thức Svac-xơ

Cho các số thực >0 chứng minh rằng:

a. displaystylefrac{x^{2}}{x^{2}+2 y z}+frac{y^{2}}{y^{2}+2 z x}+frac{z^{2}}{z^{2}+2 x y} geq 1

b. displaystylefrac{a}{b+c}+frac{b}{c+a}+frac{c}{a+b} geq frac{3}{2}

Cùng chuyên đề:

<< Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *